Question

19．近幾年來，我國許多地區(qū)經(jīng)常出現(xiàn)干旱現(xiàn)象，為抗旱經(jīng)常要進(jìn)行人工降雨，現(xiàn)由天氣預(yù)報(bào)得知，某地在未來5天的指定時(shí)間的降雨概率是：前3天均為$\frac{1}{2}$，后2天均為$\frac{4}{5}$，5天內(nèi)任何一天的該指定時(shí)間沒有降雨，則在當(dāng)天實(shí)行人工降雨，否則，當(dāng)天不實(shí)施人工降雨．
（Ⅰ）求至少有1天需要人工降雨的概率
（Ⅱ）求不需要人工降雨的天數(shù)X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對立事件的概率公式求出至少有1天需要人工降雨的概率值；
（Ⅱ）根據(jù)題意知X的可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率值，
寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）5天全不需要人工降雨的概率是
P₁=${（\frac{1}{2}）}^{3}$•${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{2}{25}$，
所以至少有1天需要人工降雨的概率是
P=1-P₁=$\frac{23}{25}$；
（Ⅱ）根據(jù)題意，X的可能取值為0，1，2，3，4，5；
則P（X=0）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{1}{200}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$+${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$=$\frac{11}{200}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$+${C}_{3}^{1}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$+${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{43}{200}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{1}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$+${C}_{3}^{1}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{5}$+${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{1}{5}）}^{2}$=$\frac{73}{200}$，
P（X=4）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${C}_{2}^{1}$×$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{5}$+${C}_{3}^{2}$×${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{56}{200}$=$\frac{7}{25}$，
P（X=5）=${（\frac{1}{2}）}^{3}$×${（\frac{4}{5}）}^{2}$=$\frac{16}{200}$=$\frac{2}{25}$；
∴隨機(jī)變量X的分布列為：

x	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{1}{200}$	$\frac{11}{200}$	$\frac{43}{200}$	$\frac{73}{200}$	$\frac{7}{25}$	$\frac{2}{25}$

X的數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{1}{200}$+1×$\frac{11}{200}$+2×$\frac{43}{200}$+3×$\frac{73}{200}$+4×$\frac{7}{25}$+5×$\frac{2}{25}$=3.1．

點(diǎn)評 本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，解題時(shí)要注意概率知識的合理運(yùn)用．