Question

11．若函數(shù)f（x）滿足：對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x）+f（y）=x²+y²-$\frac{1}{2}$（x+y）．
（1）求該函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)y=$\sqrt{2f（x）-3x-2a}$的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法，在f（x）+f（y）=x²+y²-$\frac{1}{2}$（x+y）中，令x=y可得f（x）+f（x）=x²+x²-$\frac{1}{2}$（x+x），化簡(jiǎn)即可得答案；
（2）由（1）可得y=$\sqrt{2f（x）-3x-2a}$=$\sqrt{2{x}^{2}-4x-2a}$，若其定義域?yàn)镽，即2x²-4x-2a≥0恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得△=（-4）²-4×2×（-2a）=16+16a≤0，解可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x）+f（y）=x²+y²-$\frac{1}{2}$（x+y），
令x=y可得：f（x）+f（x）=x²+x²-$\frac{1}{2}$（x+x），
即f（x）=x²-$\frac{x}{2}$；
（2）函數(shù)y=$\sqrt{2f（x）-3x-2a}$=$\sqrt{2{x}^{2}-4x-2a}$，
若其定義域?yàn)镽，即2x²-4x-2a≥0恒成立，
則有△=（-4）²-4×2×（-2a）=16+16a≤0，
解可得a≤-1，
即a的取值范圍是（-∞，-1]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用特殊值法求出函數(shù)的解析式．