Question

11．已知函數(shù)f（x）=（ax-1）e^x，a∈R，e是自然對(duì)數(shù)底數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出f（x）的極值即可；
（Ⅱ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為只要ax+a-1≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立，分離參數(shù)得到$a≥\frac{1}{x+1}$對(duì)x∈（0，1]恒成立，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=（ax+a-1）e^x，
所以當(dāng)a=1時(shí)，f'（x）=xe^x，
令f'（x）=0，解得x=0，
所以f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	減	極小值	增

所以x=0時(shí)，f（x）取得極小值f（0）=-1，
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=（ax+a-1）e^x，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以f'（x）≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立，
又e^x＞0，所以只要ax+a-1≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立，
要使ax+a-1≥0對(duì)x∈（0，1）恒成立，
因?yàn)閤＞0，所以$a≥\frac{1}{x+1}$對(duì)x∈（0，1]恒成立，
因?yàn)楹瘮?shù)$g（x）=\frac{1}{x+1}$在（0，1）上單調(diào)遞減，
只要$a≥g（0）=\frac{1}{0+1}=1$，所以a的取值范圍是[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．