Question

3．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點(diǎn)P是DD₁的中點(diǎn)．
求證：（1）直線BD₁∥平面PAC
（2）①求異面直線PC與AA₁所成的角．
②平面PAC⊥平面BDD₁．

Answer 1

分析 （1）連接BD，交AC于O，連接PO，由三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，即可得證；
（2）①連接PC₁，AA₁∥CC₁，∠C₁CP即為異面直線PC與AA₁所成的角，分別求出△C₁CP的三邊，由解三角形即可得到所求角；
②運(yùn)用正方形的對(duì)角線垂直和線面垂直的性質(zhì)定理，可得AC⊥平面BDD₁B₁，再由面面垂直的判定定理，即可得證．

解答 （1）證明：連接BD，交AC于O，連接PO，
在△BDD1中，OP為中位線，
可得OP∥BD₁，
又OP?平面PAC，BD₁?平面PAC，
則直線BD₁∥平面PAC；
（2）①連接PC₁，AA₁∥CC₁，
∠C₁CP即為異面直線PC與AA₁所成的角，
在△C₁CP中，C₁C=2，PC=$\sqrt{C{D}^{2}+P{D}^{2}}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
PC₁=$\sqrt{{C}_{1}{{D}_{1}}^{2}+P{{D}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
由PC²+PC₁²=CC₁²，可得△C₁CP為等腰直角三角形，
則異面直線PC與AA₁所成的角為45°；
②證明：在底面ABCD中，AB=AD，
即有四邊形ABCD為正方形，
可得AC⊥BD，
D₁D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
即有D₁D⊥AC，
D₁D∩BD=D，
可得AC⊥平面BDD₁B₁，
AC?平面PAC，
則平面PAC⊥平面BDD₁．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，注意運(yùn)用中位線定理和線面平行的判定定理，考查異面直線所成角的求法，注意運(yùn)用平移法，考查面面垂直的判定，注意運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，考查空間想象能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．