【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）證明：函數(shù)在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn)；

（Ⅲ）證明：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）證明見解析

【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，從而解得切線的切率，根據(jù)點(diǎn)斜式即可求得結(jié)果；

（Ⅱ）根據(jù)的單調(diào)性，即可容易求證；

（Ⅲ）根據(jù)的正負(fù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可容易證明.

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，

所以，

，

又因?yàn)?/span>，

所以切線方程為，

即：.

（Ⅱ）證明：因?yàn)?/span>和在上單調(diào)遞減，

所以在上單調(diào)遞減，

且．

又，

所以在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=0，

并且當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以在區(qū)間上有唯一的極大值點(diǎn).

（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，

，，

此時(shí).

當(dāng)時(shí)，

，，

此時(shí).

當(dāng)時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.

因?yàn)?/span>，，

所以在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著電商的快速發(fā)展，快遞業(yè)突飛猛進(jìn)，到目前，中國擁有世界上最大的快遞市場.某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)10元；重量超過的包裹，除收費(fèi)10元之外，每超過（不足，按計(jì)算）需再收5元.

該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下：

包裹重量（單位：）

1

2

3

4

5

包裹件數(shù)

43

30

15

8

4

公司對近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：

包裹件數(shù)范圍

0~100

101~200

201~300

301~400

401~500

包裹件數(shù)（近似處理）

50

150

250

350

450

天數(shù)

6

6

30

12

6

以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.

（1）計(jì)算該公司未來5天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101~300之間的概率；

（2）①估計(jì)該公司對每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；

②根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤，剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員3人，每人每件攬件不超過150件，日工資100元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減1人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，若你是公司老總，是否進(jìn)行裁減工作人員1人？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，拋物線：上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個(gè)定值；若不是，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，橢圓上一點(diǎn)到的距離之和為4．過點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）試判斷直線與橢圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由；

（3）直線與直線交于點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若當(dāng)時(shí)恒成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】單位正方體內(nèi)部或邊界上不共面的四個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的四面體體積的最大值為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】斜率為的直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線交于、兩點(diǎn).

（1）設(shè)點(diǎn)在第一象限，過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，為垂足，且，直線與直線關(guān)于直線對稱，求直線的方程；

（2）過且與垂直的直線與圓交于、兩點(diǎn)，若與面積之和為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（2）若,關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)根, 求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若對任意,不等式均成立, 求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象在處的切線為.（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求，的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：；

（3）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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