Question

如圖已知四棱錐S-ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，SA⊥底面ABCD，且SA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是SB的中點(diǎn)．
（1）證明：平面SAD⊥平面SCD；
（2）求AC與SB所成角的余弦值；
（3）求二面角M-AC-B的平面角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用面面垂直的性質(zhì)，證明CD⊥平面SAD．
（2）AC中點(diǎn)O，SC中點(diǎn)E，AB中點(diǎn)F，BC中點(diǎn)G，∠EGF是AC、SB所成的角（或補(bǔ)角），△EGF中，使用余弦定理求∠EGF的大小．
（3）根據(jù)三垂線定理可得，∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角，解直角三角形求此角的大�。�

解答： 證明：（1）由已知可得：SA⊥CD，CD⊥AD∴CD⊥平面SAD，（2分）
而CD⊆SCD，∴平面SAD⊥平面SCD（3分）
（2）設(shè)AC中點(diǎn)O，SC中點(diǎn)E，AB中點(diǎn)F，
BC中點(diǎn)G，連接OE、OF、EF、EG、FG
EG∥SB，F(xiàn)G∥AC，∠EGF是AC、SB所成的角（或補(bǔ)角）（5分）
∴OE=

1

2

SA=

1

2

，OF=

1

2

CE=

2

2

，EF=

( 1 2 )2+( 2 2 )2

=

3

2

，
又∵FG=

1

2

AC=

2

2

，EG=

1

2

SB=

5

2

，
∴cos∠EGF=

EG2+FG2-EF2

2EG•FG

=

10

5

（7分）
∴AC與SB所成的角的余弦值為

10

5

（8分）
（3）連接MO，根據(jù)三垂線定理可得：MO⊥AC，MF⊥面ABCD，OF⊥AC
∴∠MOF就是二面角M-AC-B的平面角（10分）
tan∠MOF=

MF

OF

=

2

2

∴二面角M-AC-B的大的正切值是

2

2

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查證明面面垂直的方法，求線線角即二面角的方法，關(guān)鍵是進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．