Question

4．若曲線f（x）=$\sqrt{x}$在點(diǎn)（a，f（a））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為$\frac{1}{4}$，則a的值為1．

Answer 1

分析 求導(dǎo)數(shù)可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程進(jìn)而可得切線的方程，可得其截距，運(yùn)用三角形的面積公式可得a的方程，解方程可得．

解答 解：對y=$\sqrt{x}$求導(dǎo)數(shù)可得y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∴曲線在P（a，$\sqrt{a}$）處的切線斜率為k=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$，
∴切線方程為：y-$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2\sqrt{a}}$（x-a），
令x=0，可得y=$\frac{\sqrt{a}}{2}$，即直線的縱截距為$\frac{\sqrt{a}}{2}$，
令y=0，可得x=-a，即直線的橫截距為-a，
∴切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為：
S=$\frac{1}{2}$|$\frac{\sqrt{a}}{2}$|•|-a|=$\frac{1}{4}$，解得a=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查三角形的面積公式，考查運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題．