Question

3．對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量$\overrightarrow{α}$和$\overrightarrow{β}$，定義運(yùn)算$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$，現(xiàn)有如下四個(gè)命題：
①$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$；
②$\overrightarrow{α}$=（1，2），$\overrightarrow{β}$=（1，1），則$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{3}{2}$；
③若0＜|$\overrightarrow{α}$|＜|$\overrightarrow{β}$|，$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$的夾角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），則$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
④若|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|＞0，$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），且$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$和$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}上，則$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{3}{2}$．
其中正確命題的序號(hào)是②④（把所有正確命題的序號(hào)都寫上）

Answer 1

分析 ①根據(jù)定義運(yùn)行進(jìn)行判斷即可．
②利用對(duì)應(yīng)結(jié)合數(shù)量積的公式進(jìn)行求解．
③根據(jù)定義結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解．
④根據(jù)題中的定義，化簡(jiǎn)整理得$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$\frac{|\overrightarrow{a}|cosθ}{|\overrightarrow|}$=$\frac{n}{2}$且$\overrightarrow$?$\overrightarrow{a}$=$\frac{|\overrightarrow|cosθ}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{m}{2}$，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)整理．

解答 解：①$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$，$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{α}}{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{α}}$，則當(dāng)|$\overrightarrow{α}$|=|$\overrightarrow{β}$|時(shí)成立，當(dāng)|$\overrightarrow{α}$|≠|(zhì)$\overrightarrow{β}$|時(shí)，等式不成立；故①錯(cuò)誤，
②若$\overrightarrow{α}$=（1，2），$\overrightarrow{β}$=（1，1），則$\overrightarrow{α}$•$\overrightarrow{β}$=1×1+2×1=1+2=3，$\overrightarrow{β}$•$\overrightarrow{β}$=1×1+1×1=1+1=2，則$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$=$\frac{3}{2}$，故②正確；
③若0＜|$\overrightarrow{α}$|＜|$\overrightarrow{β}$|，$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$的夾角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），則$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$=$\frac{|\overrightarrow{α}||\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{β}||\overrightarrow{β}|}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$，
∵0＜|$\overrightarrow{α}$|＜|$\overrightarrow{β}$|，$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$的夾角θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），
∴0＜$\frac{|\overrightarrow{α}|}{|\overrightarrow{β}|}$＜1，0＜cosθ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則0＜$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），故③錯(cuò)誤；
④若|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|＞0，$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），
則$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{β}}{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{β}}$=$\frac{|\overrightarrow{α}||\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{β}||\overrightarrow{β}|}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$，$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{\overrightarrow{β}•\overrightarrow{α}}{\overrightarrow{α}•\overrightarrow{α}}$=$\frac{|\overrightarrow{β}||\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{α}||\overrightarrow{α}|}$=$\frac{|\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{α}|}$，
∵$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$和$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$都在集合{$\frac{n}{2}$|n∈Z}上，
∴設(shè)$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{|\overrightarrow{α}|cosθ}{|\overrightarrow{β}|}$=$\frac{n}{2}$，$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$=$\frac{|\overrightarrow{β}|cosθ}{|\overrightarrow{α}|}$=$\frac{m}{2}$，其中m、n都是整數(shù)
將化簡(jiǎn)的兩式相乘，可得cos²θ=$\frac{mn}{4}$．
∵|$\overrightarrow{α}$|≥|$\overrightarrow{β}$|＞0，∴n≥m 且 m、n∈z，
∵$\overrightarrow{α}$與$\overrightarrow{β}$的夾角θ∈（0，$\frac{π}{4}$），可得cos²θ∈（$\frac{1}{2}$，1）
即$\frac{mn}{4}$∈（$\frac{1}{2}$，1），結(jié)合m、n均為整數(shù)，可得m=1且n=3，從而得$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$=$\frac{3}{2}$．故④正確，
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，本題給出新定義，求式子$\overrightarrow{α}$?$\overrightarrow{β}$和$\overrightarrow{β}$?$\overrightarrow{α}$的值以對(duì)應(yīng)的性質(zhì)．著重考查了向量數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)和整數(shù)解的討論等知識(shí)，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理和運(yùn)算能力．