Question

6．某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖（1）、（2）、（3）、（4）為她們刺繡最簡(jiǎn)單的四個(gè)圖案，這些圖案都由小正方形構(gòu)成，小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮，現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），設(shè)第n個(gè)圖形包含f（n）個(gè)小正方形．
（1）由圖歸納出f（n）與f（n-1）的關(guān)系式，并求出f（n）表達(dá)式；
（2）求證：$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$$＜\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）總結(jié)一般性的規(guī)律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用疊加法，可求f（n）的表達(dá)式；
（2）根據(jù)通項(xiàng)特點(diǎn)，利用裂項(xiàng)法求和，即可得到解決．

解答 （1）解：∵f（2）-f（1）=4=4×1，f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式規(guī)律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），…
f（2）-f（1）=4×1，∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]=2（n-1）•n，∴f（n）=2n²-2n+1（n≥2），又n=1時(shí)，f（1）也適合f（n）．∴f（n）=2n²-2n+1．
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{1}{f（n）-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{1}{f（1）}$+$\frac{1}{f（2）-1}$+$\frac{1}{f（3）-1}$+…+$\frac{1}{f（n）-1}$=1+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$）=$\frac{3}{2}-\frac{1}{2n}$＜$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查歸納推理，其基本思路是先分析具體，觀察，總結(jié)其內(nèi)在聯(lián)系，得到一般性的結(jié)論，（2）問(wèn)考查了裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，屬于中檔題．