Question

16．已知一只螞蟻在邊長(zhǎng)為4的正三角形內(nèi)爬行，則此螞蟻到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{3}π}{12}$
• B． $\frac{\sqrt{3}π}{24}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，記“螞蟻距三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1”為事件A，則其對(duì)立事件B為“螞蟻與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過1”，先求得邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的面積，再計(jì)算事件B構(gòu)成的區(qū)域面積，由幾何概型可得P（B），進(jìn)而由對(duì)立事件的概率性質(zhì)，可得答案．

解答 解：記“螞蟻距三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1”為事件A，則其對(duì)立事件B為“螞蟻與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離不超過1”，
邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的面積為S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×4²=4$\sqrt{3}$，
則事件B構(gòu)成的區(qū)域面積為S（B）=3×$\frac{π}{3}×\frac{1}{2π}$×π×1²=$\frac{π}{2}$，
由幾何概型的概率公式得P（B）=$\frac{\sqrt{3}π}{24}$，
P（A）=1-P（，B）=1-$\frac{\sqrt{3}π}{24}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何概型，涉及對(duì)立事件的概率性質(zhì)；解題時(shí)如需要計(jì)算不規(guī)則圖形的面積，可用間接法．