Question

16．已知△ABC，A，B，C對的邊分別為a，b，c，asinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b．
（1）求角A的大��；
（2）若A為銳角，且a=$\sqrt{3}$，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理邊化角即可得出sinA；
（2）利用正弦定理得出b+c關(guān)于B的三角函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)和B的范圍得出最大值．

解答 解：（1）△ABC中，∵asinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，∴sinAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{2π}{3}$．
（2）當(dāng)A為銳角時，A=$\frac{π}{3}$．
∵$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2$．
∴b=2sinB，c=2sinC=2sin（$\frac{2π}{3}-B$）．
∴b+c=2sinB+2sin（$\frac{2π}{3}-B$）=3sinB+$\sqrt{3}$cosB=2$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．
∵0$＜B＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴當(dāng)B+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，b+c取得最大值2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了正弦定理，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．