Question

【題目】如圖，在多邊形ABPCD中（圖1），四邊形ABCD為長(zhǎng)方形，為正三角形，，，現(xiàn)以BC為折痕將折起，使點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影恰好在AD上（圖2）.

（1）證明：平面平面PAB；

（2）若點(diǎn)E在線段PB上，且，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q到平面EBC的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）過點(diǎn)作，垂足為O，由于點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影恰好在AD上，可得PO⊥平面ABCD，進(jìn)一步得到AB⊥AD，由線面垂直的判定可得AB⊥PD，通過計(jì)算PA，PD，AD，可得，從而得，則平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；

（2）利用等積法即可求出點(diǎn)到底面的距離．

(1)證明：過點(diǎn)作，垂足為O.

由于點(diǎn)P在平面ABCD內(nèi)的射影恰好在AD上，

∴平面ABCD，∴，

∵四邊形ABCD為矩形，∴，

又，∴平面PAD，

∴，，

又由，，可得，同理，

又，∴，

∴，且，

∴平面PAB

又因?yàn)槠矫?/span>PCD

所以平面平面PAB

(2)設(shè)點(diǎn)E到底面QBC的距離為h，所以點(diǎn)Q到平面EBC的距離為d

則，

由，可知，

∴，∵，且，

∴，∴，

又，，

∴.

所以點(diǎn)Q到平面EBC的距離為.