【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調性；

（2）若，過分別作曲線與的切線，且與關于軸對稱，求證: .

【答案】(1)見解析；(2) 見解析.

【解析】試題分析：(1) 求出，分五種情討論，分別令得增區(qū)間， 得減區(qū)間；（2）根據(jù)導數(shù)的幾何意義可求出兩切線的斜率分別為，根據(jù)切點處兩函數(shù)縱坐標相等可得關于的兩個等式，由其中一個等式求得的范圍，再根據(jù)另一個等式利用導數(shù)求得的范圍.

試題解析：由已知得，所以.

(1) . ① 若，當或時， ；當時， ，所以的單調遞增區(qū)間為；

單調遞減區(qū)間為. ②若，當時， ；當時， ，所以的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為. ③ 若，當或時， ；當時， ，所以的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為.④若，故的單調遞減區(qū)間為.⑤若，當或時， ；當時， ，所以的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為.

當時， 的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為.

當時， 的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為.當時， 的單調遞增區(qū)間為；單調遞減區(qū)間為.

當時， 的單調遞減區(qū)間為；當時， 單調遞增區(qū)間為 ；

單調遞減區(qū)間為,；

(2) ,設的方程為，切點為，則，所以.由題意知，所以的方程為，設與的切點為，則.

又,即，令，在定義域上， ，所以上， 是單調遞增函數(shù)，又，所以，即，令，則，所以，故

.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，我海監(jiān)船在島海域例行維權巡航，某時刻航行至處，此時測得其東北方向與它相距海里的處有一外國船只，且島位于海監(jiān)船正東海里處.

（1）求此時該外國船只與島的距離；

（2）觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時海里的速度沿正南方向航行，為了將該船攔截在離島海里處，不讓其進入島海里內的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值．（參考數(shù)據(jù)：，）

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【題目】已知橢圓： （）的離心率為，以橢圓的四個頂點為頂點的四邊形的面積為8.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）如圖，斜率為的直線與橢圓交于， 兩點，點在直線的左上方.若，且直線， 分別與軸交于， 點，求線段的長度.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得函數(shù)的圖象(如圖) ，點分別是函數(shù)圖象上軸兩側相鄰的最高點和最低點，設，則的值為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

年份

2006

2008

2010

2012

2014

需求量(萬噸)

236

246

257

276

286

(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸方程＝x＋；

(2)利用(1)中所求出的直線方程預測該地2018年的糧食需求量．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了選拔參加自行車比賽的選手，對自行車運動員甲、乙兩人在相同條件下進行了6次測試，測得他們的最大速度(單位：m/s)的數(shù)據(jù)如下：

甲

27

38

30

37

35

31

乙

33

29

38

34

28

36

(1)畫出莖葉圖，由莖葉圖你能獲得哪些信息；

(2)估計甲、乙兩運動員的最大速度的平均數(shù)和方差，并判斷誰參加比賽更合適．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的左、右焦點， 為坐標原點，點在橢圓上，線段與軸的交點滿足．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）圓是以為直徑的圓，一直線與圓相切，并與橢圓交于不同的兩點、，當，且滿足時，求的面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知某池塘養(yǎng)殖著鯉魚和鯽魚,為了估計這兩種魚的數(shù)量,養(yǎng)殖者從池塘中捕出這兩種魚各1 000條,給每條魚做上不影響其存活的標記,然后放回池塘,待完全混合后,再每次從池塘中隨機地捕出1 000條魚,記錄下其中有記號的魚的數(shù)目,立即放回池塘中.這樣的記錄做了10次,并將記錄獲取的數(shù)據(jù)制作成如圖所示的莖葉圖.

(1)根據(jù)莖葉圖計算有記號的鯉魚和鯽魚數(shù)目的平均數(shù),并估計池塘中的鯉魚和鯽魚的數(shù)量;

(2)為了估計池塘中魚的總質量,現(xiàn)按照(1)中的比例對100條魚進行稱重,根據(jù)稱重魚的質量介于[0,4.5](單位:千克)之間,將測量結果按如下方式分成九組:第一組[0,0.5),第二組[0.5,1),…,第九組[4,4.5].如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.

①估計池塘中魚的質量在3千克以上(含3千克)的條數(shù);

②若第三組魚的條數(shù)比第二組多7條、第四組魚的條數(shù)比第三組多7條,請將頻率分布直方圖補充完整;

③在②的條件下估計池塘中魚的質量的眾數(shù)及池塘中魚的總質量.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖(1)是一個水平放置的正三棱柱， 是棱的中點，正三棱柱的主視圖如圖(2).

(1)圖(1)中垂直于平面的平面有哪幾個(直接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明)

(2)求正三棱柱的體積；

(3)證明： 平面.

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