Question

19．如圖，已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=1，PA=$\sqrt{2}$，O為線段PC的中點，
（1）證明：BC⊥平面PAB；
（2）求直線PC與平面PAB所成的角；
（3）求三棱錐B-AOC的體積．

Answer 1

分析 （1）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，又BC⊥AB，故而BC⊥平面PAB；
（2）∠BPC即為直線PC與平面PAB所成的角，利用勾股定理計算出PB，得出tan∠BPC即可得出所求角；
（3）由O為PC中點，可知V_B-AOC=V_O-ABC=$\frac{1}{2}$V_P-ABC．

解答 解：（1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA?平面PAB，AB?平面PAB，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
（2）∵BC⊥平面PAB，
∴∠BPC即為直線PC與平面PAB所成的角．
∵PA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB=$\sqrt{P{A}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴tan∠BPC=$\frac{BC}{PB}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BPC=30°，即直線PC與平面PAB所成的角為30°．
（3）∵O為線段PC的中點，
∴V_B-AOC=V_O-ABC=$\frac{1}{2}$V_P-ABC=$\frac{1}{6}{S}_{△ABC}•PA$=$\frac{1}{6}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×\sqrt{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計算，棱錐的體積計算，屬于中檔題．