Question

19．若不等式|a-2|≤|x+$\frac{1}{x}$|對一切非零實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的最大值是4．

Answer 1

分析 由題意可得|a-2|≤|x+$\frac{1}{x}$|的最小值，運用基本不等式可得最小值，由絕對值不等式可得a的范圍，進而得到a的最大值．

解答 解：不等式|a-2|≤|x+$\frac{1}{x}$|對一切非零實數(shù)x恒成立，
即為|a-2|≤|x+$\frac{1}{x}$|的最小值，
由|x+$\frac{1}{x}$|=|x|+$\frac{1}{|x|}$≥2$\sqrt{|x|•\frac{1}{|x|}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=±1取得最小值．
可得|a-2|≤2，解得0≤a≤4．
則a的最大值為4．
故答案為：4．

點評 本題考查不等式的恒成立問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和基本不等式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．