Question

17．設函數$f（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}$．
（1）求函數f（x）的值域；
（2）當實數x∈[0，1]，證明：$f（x）≤2-\frac{1}{4}{x^2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可以推知$f'（x）=\frac{{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}}{{2\sqrt{1-{x^2}}}}$，結合該函數的單調性求解；
（2）把證明不等式成立問題轉化為判斷函數單調性問題解決，利用（1）的結論即可得出結論．

解答 解：（1）由題意知，函數f（x）的定義域是[-1，1]，
∵$f'（x）=\frac{{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}}{{2\sqrt{1-{x^2}}}}$，當f'（x）≥0時，解得x≤0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（-1，0）上單調遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（1）=f（-1）=\sqrt{2}$，f（x）_max=f（0）=2，
∴函數f（x）的值域為$[\sqrt{2}，2]$．
（2）設$h（x）=\sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}+\frac{1}{4}{x^2}-2$，x∈[0，1]，h（0）=0，
∵$h'（x）=-\frac{1}{2}{（1-x）^{-\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}{（1+x）^{-\frac{1}{2}}}+\frac{1}{2}x$，=$\frac{1}{2}x[1-\frac{2}{{\sqrt{1-{x^2}}（\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）}}]$，
∵$\sqrt{1-{x^2}}（\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}）$=$\sqrt{1-{x^2}}•\sqrt{2+2\sqrt{1-{x^2}}}≤2$，
∴h'（x）≤0．
∴h（x）在（0，1）上單調遞減，又h（0）=0，
∴$f（x）≤2-\frac{1}{4}{x^2}$．

點評 本題主要考查函數單調性的判斷及證明不等式恒成立問題，考查利用導數研究函數的性質，邏輯性強，屬難題．