Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（1）當$a=\frac{2}{e}$時，求函數(shù)f（x）在x=e處的切線方程；
（2）若關(guān)于x的不等式lnx-ax＞0的解集有唯一整數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出斜率以及切點坐標，利用點斜式求解切線方程即可．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值推出a的范圍即可．

解答 解：（1）$a=\frac{2}{e}$時，$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2}{e}$，$f'（e）=-\frac{1}{e}$，f（e）=-1
∴f（x）在x=e處的切線方程為$y+1=-\frac{1}{e}（{x-e}）$，即$\frac{1}{e}x+y=0$，
（2）由lnx-ax＞0得$a＜\frac{lnx}{x}$，令g（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴$g'（x）=\frac{1-lnx}{x^2}$，g'（x）=0時，x=e，
x∈（0，e）時g'（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
x∈（e，+∞）時g'（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減
∴$g{（x）_{max}}=g（e）=\frac{1}{e}$，
∴x∈（1，e）時，g（x）單調(diào)遞增，x∈（e，4）時，g（x）單調(diào)遞減，
又∵$g（2）=g（4）=\frac{1}{2}ln2$，$g（3）=\frac{1}{3}ln3$，
∴要使不等式lnx-ax＞0的解集有唯一整數(shù)，實數(shù)a應(yīng)滿足$\frac{1}{2}ln2≤a＜\frac{1}{3}ln3$，
∴a的取值范圍是$[{\frac{1}{2}ln2，\frac{1}{3}ln3}）$．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的切線方程的求法，函數(shù)的最值以及函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力．