Question

2．已知函數$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$的一條對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$，則函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（　�。�

• A． $[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]$，（k∈Z）
• B． $[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]$，（k∈Z）
• C． $[{kπ-\frac{7π}{12}，kπ-\frac{π}{12}}]$，（k∈Z）
• D． $[{kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}}]$，（k∈Z）

Answer 1

分析 利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$求出a的值，可得f（x）的解析式，即可求解f（x）的單調遞增區(qū)間．

解答 解：函數$f（x）=asinxcosx-{sin^2}x+\frac{1}{2}$．
化簡可得：f（x）=$\frac{a}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x．即f（x）=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+1}{4}}$sin（2x+φ），其中tanφ=$\frac{1}{a}$．
∵有一條對稱軸方程為$x=\frac{π}{6}$，
則$\frac{π}{3}$+φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∴φ=kπ$+\frac{π}{6}$．
那么tan（kπ$+\frac{π}{6}$）=tan$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
∴a=$\sqrt{3}$．
則f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤$2x+$\frac{π}{6}$$≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z．
得：$kπ-\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{π}{6}+kπ$．
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}+kπ$]，k∈Z．
故選：A．

點評 本題主要考查對三角函數的化簡能力和三角函數的圖象和性質的運用，利用三角函數公式將函數進行化簡是解決本題的關鍵，屬于中檔題．