Question

17．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左右焦點(diǎn)，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，M是橢圓上一點(diǎn)，∠F₁MF₂的最大值為$\frac{2}{3}$π
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ
（i）求證：$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}$為定值；
（ii）求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件求出a=2，b=1，得橢圓方程．
（Ⅱ）i）當(dāng)OP，OQ斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)l_OP：y=kx，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）聯(lián)立直線與橢圓方程，求出PQ坐標(biāo)，然后求解$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}$為定值．當(dāng)OP，OQ斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，驗(yàn)證即可．ii） 當(dāng)OP，OQ斜率都存在且不為0時(shí)，表示△OPQ面積，利用基本不等式求解面積的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左右焦點(diǎn)，|F₁F₂|=2$\sqrt{3}$，M是橢圓上一點(diǎn)，∠F₁MF₂的最大值為$\frac{2}{3}$π，可得c=$\sqrt{3}$，2b=a，a²=b²+c²，
得a=2，b=1，得橢圓方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）

（Ⅱ）i）當(dāng)OP，OQ斜率都存在且不為0時(shí)，設(shè)l_OP：y=kx，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$消y得${x_1}^2=\frac{4}{{1+4{k^2}}}$，${y_1}^2={k^2}{x_1}^2=\frac{{4{k^2}}}{{1+4{k^2}}}$
同理得${x_2}^2=\frac{{4{k^2}}}{{4+{k^2}}}$，${y_2}^2=\frac{1}{k^2}{x_2}^2=\frac{4}{{{k^2}+4}}$
故$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{1}{{{x_1}^2+{y_1}^2}}+\frac{1}{{{x_2}^2+{y_2}^2}}=\frac{5}{4}$…（7分）
當(dāng)OP，OQ斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，得$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{1}=\frac{5}{4}$
綜上得$\frac{1}{{{{|{OP}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OQ}|}^2}}}=\frac{5}{4}$，得證．                             …（8分）
（未討論斜率這扣1分）
ii） 當(dāng)OP，OQ斜率都存在且不為0時(shí)，${S_{OPQ}}=\frac{1}{2}\sqrt{O{P^2}•O{Q^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{{4{k^2}+4}}{{1+4{k^2}}}•\frac{{4{k^2}+4}}{{{k^2}+4}}}$
=$2\sqrt{\frac{1}{{4+\frac{{9{k^2}}}{{{k^4}+2{k^2}+1}}}}}$
又$0＜\frac{{9{k^2}}}{{{k^4}+2{k^2}+1}}≤\frac{{9{k^2}}}{{2\sqrt{{k^4}•1}+2{k^2}}}=\frac{9}{4}$
所以$\frac{4}{5}≤{S_{△OPQ}}＜1$…..（11分）
當(dāng)OP，OQ斜率一個(gè)為0，一個(gè)不存在時(shí)，S_△OPQ=1
綜上得$\frac{4}{5}≤{S_{△OPQ}}≤1$…（12分）
（未討論斜率這扣1分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．