Question

14．以$F（0，\frac{p}{2}）（p＞0）$為焦點(diǎn)的拋物線C的準(zhǔn)線與雙曲線x²-y²=2相交于M，N兩點(diǎn)，若△MNF為正三角形，則拋物線C的方程為（　�。�

• A． ${y^2}=2\sqrt{6}x$
• B． ${y^2}=4\sqrt{6}x$
• C． ${x^2}=2\sqrt{6}y$
• D． ${x^2}=4\sqrt{6}y$

Answer 1

分析 由題意，y=$\frac{p}{2}$代入雙曲線x²-y²=2，可得x=±$\sqrt{2+\frac{{p}^{2}}{4}}$，利用△MNF為正三角形，求出p，即可求出拋物線的方程．

解答 解：由題意，y=$\frac{p}{2}$代入雙曲線x²-y²=2，可得x=±$\sqrt{2+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
∵△MNF為正三角形，
∴p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{2+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
∵p＞0，∴p=2$\sqrt{6}$，
∴拋物線C的方程為x²=4$\sqrt{6}$y，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，雙曲線方程的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力以及計(jì)算能力．