Question

3．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=-\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ-3cosθ=0．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程以及直線l的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π）

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）兩極坐標(biāo)方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)直角坐標(biāo)，即可求直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+2t}\\{y=-\sqrt{3}+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），普通方程為3x-2$\sqrt{3}$y-9=0，極坐標(biāo)方程為3ρcosθ-2$\sqrt{3}$ρsinθ-9=0，
曲線C的極坐標(biāo)方程是ρsin²θ-3cosθ=0，即ρ²sin²θ=3ρcosθ，曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=3x；
（Ⅱ）兩極坐標(biāo)方程聯(lián)立，可得ρ²sin²θ-2$\sqrt{3}$ρsinθ-9=0，∴ρsinθ=3$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$，即y=3$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$，
∴x=9或1，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為（9，3$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）
∴直線l與曲線C交點(diǎn)的極坐標(biāo)為（6$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$）或（2，$\frac{5π}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三種方程的轉(zhuǎn)化，考查極坐標(biāo)方程的運(yùn)用，屬于中檔題．