Question

7．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，其圖象關(guān)于點（1，0）中心對稱，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x＜1時，（x-1）[f（x）+（x-1）f′（x）]＞0，則不等式xf（x+1）＞f（2）的解集為（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （1，+∞）
• C． （-1，1）
• D． （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 由題意設(shè)g（x）=（x-1）f（x），求出g′（x）后由條件判斷出符號，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出g（x）在（-∞，1）上遞增，由條件和圖象平移判斷出：函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于點（0，0）中心對稱，由奇函數(shù)的圖象可得：函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)，令h（x）=g（x+1）=xf（x+1），判斷出h（x）的奇偶性和單調(diào)性，再等價轉(zhuǎn)化不等式，求出不等式的解集．

解答 解：由題意設(shè)g（x）=（x-1）f（x），
則g′（x）=f（x）+（x-1）f′（x），
∵當(dāng)x＜1時，（x-1）[f（x）+（x-1）f′（x）]＜0，
∴當(dāng)x＜1時，f（x）+（x-1）f′（x）＞0，
則g（x）在（-∞，1）上遞增，
∵函數(shù)f（x）的定義域為R，其圖象關(guān)于點（1，0）中心對稱，
∴函數(shù)f（x+1）的圖象關(guān)于點（0，0）中心對稱，
則函數(shù)f（x+1）是奇函數(shù)，
令h（x）=g（x+1）=xf（x+1），
∴h（x）是R上的偶函數(shù)，且在（-∞，0）遞增，
由偶函數(shù)的性質(zhì)得：函數(shù)h（x）在（0，+∞）上遞減，
∵h（1）=f（2），∴不等式xf（x+1）＞f（2）化為：h（x）＞h（1），
即|x|＜1，解得-1＜x＜1，
∴不等式的解集是（-1，1），
故選C．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，偶函數(shù)的定義以及性質(zhì)，函數(shù)圖象的平移變換，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造法，化簡、變形能力．