Question

9．奇函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（-3）=0，且在區(qū)間[0，2]于[2，+∞）上分別是遞減和遞增，則不等式（1-x²）f（x）＞0的解集（-∞，-3）∪（-1，0）∪（1，3）．

Answer 1

分析 由題意，可先研究奇函數(shù)f（x）（x∈R）的特征，得出f（x）＜0的解集與f（x）＞0的解集，再研究1-x²符號為正時x的取值范圍與符號為負時x的取值范圍，不等式（1-x²）f（x）＞0的說明（1-x²）與f（x）符號相同，由此判斷出不等式的解集即可得到答案．

解答 解：由題意可得f（3）=0
由上知，當x≥0時，f（x）＜0的解集（0，3），f（x）＞0的解集（3，+∞），
由于函數(shù)是奇函數(shù)，故當x＜0時，f（x）＜0的解集（-∞，-3），f（x）＞0的解集（-3，0），
令1-x²＞0解得-1＜x＜1
∴不等式（1-x²）f（x）＞0的解集為（-∞，-3）∪（-1，0）∪（1，3）
故答案為：（-∞，-3）∪（-1，0）∪（1，3）

點評 本題考點是奇偶性與單調(diào)性的綜合，考查了奇函數(shù)的對稱性，函數(shù)單調(diào)性及由題設條件判斷函數(shù)值的符號，解題的關鍵是理解兩個因子乘積大于0，則兩者的符號相同，本題考查了判斷推理的能力及數(shù)形結合的思想，是函數(shù)性質(zhì)考察的經(jīng)典題，在高考中也多有出現(xiàn)．