Question

3．左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)Q（0，$\sqrt{3}$），P為橢圓上一點(diǎn)，△PF₁F₂的重心為G，內(nèi)心為I，IG∥F₁F₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）M為直線x-y=4上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作橢圓C的兩條切線MA、MB，A、B為切點(diǎn)，問直線AB是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由過點(diǎn)Q，則b=$\sqrt{3}$，求得，△PF₁F₂的重心為G點(diǎn)坐標(biāo)，由IG∥F₁F₂，|y₀|=3r，根據(jù)三角形的面積公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）利用橢圓的切線發(fā)濃縮，求得直線AB的方程，由點(diǎn)M為直線x-y=4上，代入整理即可求得定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)$Q（0，\sqrt{3}）$，
∴$b=\sqrt{3}$…（1分）
設(shè)△PF₁F₂內(nèi)切圓的半徑為r，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則△PF₁F₂重心G的坐標(biāo)為$（\frac{x_0}{3}，\frac{y_0}{3}）$，
∵IG∥F₁F₂，
∴|y₀|=3r．…（2分）
由△PF₁F₂面積可得$\frac{1}{2}（|P{F_1}|+|P{F_2}|+|{F_1}{F_2}|$）r=$\frac{1}{2}|{F_1}{F_2}||{y_0}|$，
即a=2c，$（c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}）$，…（4分）
則解得$a=2，b=\sqrt{3}$，
即所求的橢圓方程為則橢圓方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$…（5分）
（2）設(shè)M（x₁，y₁），A（x₂，y₂），B（x₃，y₃）則切線MA，MB的方程分別為$\frac{{{x_2}x}}{4}+\frac{{{y_2}y}}{3}=1$，$\frac{{{x_3}x}}{4}+\frac{{{y_3}y}}{3}=1$．…（7分）
∵點(diǎn)M在兩條切線上，
∴$\frac{{{x_2}{x_1}}}{4}+\frac{{{y_2}{y_1}}}{3}=1$，$\frac{{{x_3}{x_1}}}{4}+\frac{{{y_3}{y_1}}}{3}=1$，
故直線AB的方程為$\frac{{{x_1}x}}{4}+\frac{{{y_1}y}}{3}=1$．…（9分）
又∵點(diǎn)M為直線x-y=4上，
∴y₁=x₁-4
即直線AB的方程可化為$\frac{{{x_1}x}}{4}+\frac{{（{x_1}-4）y}}{3}=1$，整理得（3x+4y）x₁=16y+12，
由$\left\{\begin{array}{l}3x+4y=0\\ 16y+12=0\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-\frac{3}{4}\end{array}\right.$，
因此，直線AB過定點(diǎn)$（1，-\frac{3}{4}）$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查三角形的重心公式，三角形的面積公式，橢圓的切線公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．