Question

17．如圖，AB為半圓O的直徑，直線PC切半圓O于點(diǎn)C，AP⊥PC，P為垂足．
求證：（1）∠PAC=∠CAB；
（2）AC² =AP•AB．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理可得：∠ACP=∠ABC．利用圓的性質(zhì)可得∠ACB=90°．再利用三角形內(nèi)角和定理即可證明．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，即可證明．

解答 證明：（1）∵直線PC切半圓O于點(diǎn)C，∴∠ACP=∠ABC．
∵AB為半圓O的直徑，∴∠ACB=90°．
∵AP⊥PC，∴∠APC=90°．
∴∠PAC=90°-∠ACP，∠CAB=90°-∠ABC，
∴∠PAC=∠CAB．
（2）由（1）可得：△APC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AP}{AC}$．
∴AC² =AP•AB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了弦切角定理、圓的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形相似的判定與性質(zhì)定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．