Question

1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t}\\{y=-1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）與曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=cos2θ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)）相交于A，B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

分析 直線$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t}\\{y=-1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t化為普通方程．由曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=cos2θ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），利用倍角公式可得y=1-2sin²θ，聯(lián)立解出，再利用兩點之間的距離公式即可得出．

解答 解：直線$\left\{{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{{\sqrt{5}}}{5}t}\\{y=-1+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)）化為普通方程：y=2x+1．
由曲線$\left\{{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=cos2θ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），可得y=1-2sin²θ=1-2x²（-1≤x≤1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+1}\\{y=1-2{x}^{2}}\end{array}\right.$（-1≤x≤1），解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，
．∴A（-1，-1），B（0，1），
∴|AB|=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（-1-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、曲線的交點、兩點之間的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．