Question

17．已知P（x₀，y₀）是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1上的一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是C的兩個(gè)焦點(diǎn)，若$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$≥0，則x₀的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]
• B． （-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）
• C． （-∞，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]∪[$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，+∞）
• D． （-∞，-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$）∪（$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，+∞）

Answer 1

分析 求得雙曲線的a，b，c，可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得（-$\sqrt{3}$-x₀）（$\sqrt{3}$-x₀）+y₀²≥0，再由點(diǎn)P滿(mǎn)足雙曲線的方程，化簡(jiǎn)整理，再由雙曲線的范圍，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{2}-{y}^{2}$=1的a=$\sqrt{2}$，b=1，c=$\sqrt{3}$，
可得F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-x₀，-y₀），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-x₀，-y₀），
$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$≥0，即為（-$\sqrt{3}$-x₀）（$\sqrt{3}$-x₀）+y₀²≥0，
即有x₀²+y₀²-3≥0，
又P（x₀，y₀）是雙曲線上一點(diǎn)，可得$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$-y₀²=1，
即有y₀²=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$-1，
可得x₀²+$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$≥4，即有|x₀|≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
由雙曲線的性質(zhì)可得|x₀|≥$\sqrt{2}$，
即有x₀≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，或x₀≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程、性質(zhì)和運(yùn)用，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．