11.已知等差數(shù)列{an}的公差d∈(0,1),cos(a5-2d)-cos(a5+2d)=2sin$\frac{{{a_3}+{a_7}}}{2}$,且sina5≠0,當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最小值,則首項(xiàng)a1的取值范圍是$({-\frac{5π}{2},-\frac{9π}{4}})$.

分析 由cos(a5-2d)-cos(a5+2d)=2sin$\frac{{{a_3}+{a_7}}}{2}$,利用和差化積可得-2sina5sin(-2d)=2sina5,由sina5≠0,可得sin(2d)=1,由公差d∈(0,1),可得2d=$\frac{π}{2}$.根據(jù)當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最小值,可得a10<0,a11>0,解出即可得出.

解答 解:∵cos(a5-2d)-cos(a5+2d)=2sin$\frac{{{a_3}+{a_7}}}{2}$,
∴-2sina5sin(-2d)=2sina5,
∵sina5≠0,∴sin(2d)=1,
∵公差d∈(0,1),∴2d=$\frac{π}{2}$,解得d=$\frac{π}{4}$.
∵當(dāng)且僅當(dāng)n=10時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最小值,
∴a10<0,a11>0,
∴${a}_{1}+9×\frac{π}{4}$<0,${a}_{1}+\frac{π}{4}×10$>0,
解得$-\frac{5π}{2}$<a1<$-\frac{9π}{4}$,
∴首項(xiàng)a1的取值范圍是:$({-\frac{5π}{2},-\frac{9π}{4}})$.
故答案為:$({-\frac{5π}{2},-\frac{9π}{4}})$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和差化積、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、不等式解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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