Question

14．甲乙丙丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，其路程f_i（x）（i=1，2，3，4）關(guān)于時(shí)間x（x≥0）的函數(shù)關(guān)系式分別為${f_1}（x）={2^x}-1，{f_2}（x）={x^3}，{f_3}（x）=x，{f_4}（x）={log_2}（x+1）$，
有以下結(jié)論：
①當(dāng)x＞1時(shí)，甲在最前面；
②當(dāng)x＞1時(shí)，乙在最前面；
③當(dāng)0＜x＜1時(shí)，丁在最前面，當(dāng)x＞1時(shí)，丁在最后面；
④丙不可能在最前面，也不可能最最后面；
⑤如果它們已知運(yùn)動(dòng)下去，最終在最前面的是甲．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)為③④⑤（把正確結(jié)論的序號(hào)都填上，多填或少填均不得分）

Answer 1

分析 分別取特值驗(yàn)證命題①②；對(duì)數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當(dāng)x=1時(shí)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體又重合，從而判斷命題③正確；結(jié)合對(duì)數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知命題④正確；指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長，最前面運(yùn)動(dòng)的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)運(yùn)動(dòng)的物體，即一定是甲物體．

解答 解：路程f_i（x）（i=1，2，3，4）關(guān)于時(shí)間x（x≥0）的函數(shù)關(guān)系式分別為：
${f_1}（x）={2^x}-1，{f_2}（x）={x^3}，{f_3}（x）=x，{f_4}（x）={log_2}（x+1）$，
它們相應(yīng)的函數(shù)模型分別是指數(shù)型函數(shù)，冪函數(shù)，一次函數(shù)，和對(duì)數(shù)型函數(shù)模型；
①當(dāng)x=2時(shí)，f₁（2）=3，f₂（2）=8，∴該結(jié)論不正確；
②∵指數(shù)型的增長速度大于冪函數(shù)的增長速度，∴x＞1時(shí)，甲總會(huì)超過乙的，∴該結(jié)論不正確；
③根據(jù)四種函數(shù)的變化特點(diǎn)，對(duì)數(shù)型函數(shù)的變化是先快后慢，當(dāng)x=1時(shí)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體重合，從而可知當(dāng)0＜x＜1時(shí)，丁走在最前面，當(dāng)x＞1時(shí)，丁走在最后面，∴該結(jié)論正確；
④結(jié)合對(duì)數(shù)型和指數(shù)型函數(shù)的圖象變化情況，可知丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面，∴該結(jié)論正確；
⑤指數(shù)函數(shù)變化是先慢后快，當(dāng)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間足夠長，最前面運(yùn)動(dòng)的物體一定是按照指數(shù)型函數(shù)運(yùn)動(dòng)的物體，即一定是甲物體，∴該結(jié)論正確．
∴正確結(jié)論的序號(hào)為：③④⑤．
故答案為：③④⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾種基本初等函數(shù)的變化趨勢(shì)，關(guān)鍵是注意到對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長差異，屬于基礎(chǔ)題．