Question

16．某農(nóng)科所發(fā)現(xiàn)，一中作物的年收獲量y（單位：kg）與它”相近“作物的株數(shù)x具有線性相關(guān)關(guān)系（所謂兩株作物”相近“是指它們的直線距離不超過1m），并分別記錄了相近作物的株數(shù)為1，2，3，5，6，7時，該作物的年收獲量的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

X	1	2	3	5	6	7
y	60	55	53	46	45	41

（Ⅰ）求該作物的年收獲量y關(guān)于它”相近“作物的株數(shù)x的線性回歸方程；
（Ⅱ）農(nóng)科所在如圖所示的正方形地塊的每個格點（指縱、橫直線的交叉點）處都種了一株該作物，其中每一個小正方形的面積為1，若在所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望．（注：年收獲量以線性回歸方程計算所得數(shù)據(jù)為依據(jù)）
附：對于一組數(shù)據(jù)（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n），其回歸直線y=a+bx的斜率和截距的最小二乘估計分別為$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n•{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；
（Ⅱ）利用回歸直線過程，求出x=2、3、4時對應(yīng)$\stackrel{∧}{y}$的值；
計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列，求出數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）計算$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$×（1+2+3+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$×（60+55+53+46+45+41）=50，
$\sum_{i=1}^{6}$（x_i-$\overline{x}$）（y_i-$\overline{y}$）=（-3）×10+（-2）×5+（-1）×3+1×（-4）+2×（-5）+3×（-9）=-84，
$\sum_{i=1}^{6}$${{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}$=（-3）²+（-2）²+（-1）²+1²+2²+3²=28；
∴回歸系數(shù)為$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{-84}{28}$=-3，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$=50-（-3）×4=62，
∴該作物的年收獲量y關(guān)于它”相近“作物的株數(shù)x的線性回歸方程是$\stackrel{∧}{y}$=-3x+62；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中回歸直線過程知，當(dāng)x=2時，$\stackrel{∧}{y}$=-3×2+62=56；
當(dāng)x=3時，$\stackrel{∧}{y}$=-3×3+62=53；
當(dāng)x=4時，$\stackrel{∧}{y}$=-3×4+62=50；
∴P（y=56）=P（X=2）=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$，
P（Y=53）=P（X=3）=$\frac{8}{16}$=$\frac{1}{2}$，
P（Y=50）=P（X=4）=$\frac{4}{16}$=$\frac{1}{4}$；
∴年收獲量Y的分布列

Y	56	53	50
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

數(shù)學(xué)期望為EY=56×$\frac{1}{4}$+53×$\frac{1}{2}$+50×$\frac{1}{4}$=53．

點評 本題考查了線性回歸方程的應(yīng)用問題，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的計算問題，是中檔題．