Question

已知向量

a

=（cos

3x

2

．-sin

3x

2

），

b

=（cos

x

2

，sin

x

2

）
（1）設(shè)函數(shù)f（x）=

a

•

b

，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|，若g（x）的最小值是-

3

2

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的綜合題,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得f（x）=cos2x，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）利用平面向量模的運(yùn)算性質(zhì)可得，|

a

+

b

|=2|cosx|，g（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λ|cosx|=2cos²x-4λ|cosx|-1，令t=|cosx|，則t∈[0，1]，可知h（t）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，t∈[0，1]．依題意，通過對(duì)λ取值范圍的討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得λ．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=cos

3x

2

cos

x

2

-sin

3x

2

sin

x

2

=cos2x，
由2kπ-π≤2x≤2kπ（k∈Z）得：kπ-

π

2

≤x≤kπ（k∈Z），
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

2

，kπ]（k∈Z）；
（2）因?yàn)閨

a

+

b

|²=|

a

|2+2

a

•

b

+|

b

|2=2+2cos2x，
所以，|

a

+

b

|=2|cosx|，
所以，g（x）=

a

•

b

-2λ|

a

+

b

|=cos2x-4λ|cosx|=2cos²x-4λ|cosx|-1，
令t=|cosx|，則t∈[0，1]，
則h（t）=2t²-4λt-1=2（t-λ）²-1-2λ²，t∈[0，1]．
當(dāng)λ＜0時(shí)，h（t）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，
由h（t）_min=h（0）=-1≠-

3

2

；
當(dāng)0≤λ≤1時(shí)，h（t）_min=h（λ）=-1-2λ²=-

3

2

，解得λ=

1

2

；
當(dāng)λ＞1時(shí)，h（t）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞減，
由h（t）_min=h（1）=1-4λ=-

3

2

得：λ=

5

8

＜1，舍去；
綜上所述，λ=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，突出考查三角函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，考查分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．