Question

10．F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線(xiàn)x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F₂的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)的左右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₁是等邊三角形，則該雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)為（　�。�

• A． 2$\sqrt{6}$
• B． 2$\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{6}$
• D． 4$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由雙曲線(xiàn)的方程求出a=1，在由雙曲線(xiàn)的定義可得|AF₂|-|AF₁|=2a=2，|BF₁|-|BF₂|=2a=2，再在△F₁BF₂中應(yīng)用余弦定理可得|F₁F₂|的值，即可得c的值，由雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)可得b的值，由虛軸的定義即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，如圖△ABF₁是等邊三角形，
則有|AB|=|AF₁|=|BF₁|，
雙曲線(xiàn)的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0），其中a=1，
A在雙曲線(xiàn)上，則|AF₂|-|AF₁|=2a=2，
又由|AB|=|AF₁|，即|BF₂|=2，
B也在雙曲線(xiàn)上，|BF₁|-|BF₂|=2a=2，
又由|BF₂|=2，則|BF₁|=2+2=4，
在△BF₁F₂中，|BF₂|=2，|BF₁|=4，∠F₁BF₂=120°，
則|F₁F₂|=$\sqrt{4+16-2×2×4×cos120°}$=2$\sqrt{7}$，
即2c=2$\sqrt{7}$，
則c=$\sqrt{7}$，
又由a=1，則b=$\sqrt{{c}^{2}-{a}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
則雙曲線(xiàn)的虛軸長(zhǎng)2b=2$\sqrt{6}$；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出b的值．