Question

10．為了解學(xué)生寒假閱讀名著的情況，一名教師對(duì)某班級(jí)的所有學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：

本數(shù) 人數(shù) 性別	0	1	2	3	4	5
男生	0	1	4	3	2	2
女生	0	0	1	3	3	1

（I）從這班學(xué)生中任選一名男生，一名女生，求這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的概率；
（II）若從閱讀名著不少于4本的學(xué)生中任選4人，設(shè)選到的男學(xué)生人數(shù)為 X，求隨機(jī)變量 X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（III）試判斷男學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差$s_1^2$與女學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差$s_2^2$的大�。ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）．

Answer 1

分析 （I）全班有12個(gè)男生，8個(gè)女生，由此求出男、女各選1人的方法數(shù)，再求出這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的方法數(shù)，由此能求出這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的概率．
（II）由已知隨機(jī)變量 X的可能的取值有0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（III）利用調(diào)查表能判斷男學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差$s_1^2$與女學(xué)生閱讀名著本數(shù)的方差$s_2^2$的大�。�

解答 解：（I）全班有12個(gè)男生，8個(gè)女生，
所以男、女各選1人的方法數(shù)m=12×8=96
而這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的方法數(shù)n=1×3+4×1=7，
所以這兩名學(xué)生閱讀名著本數(shù)之和為4的概率為p=$\frac{n}{m}=\frac{7}{96}$…（3分）
（II）由已知隨機(jī)變量 X的可能的取值有0，1，2，3，4，
${P}（{{X}=0}）=\frac{C_4^0C_4^4}{C_8^4}=\frac{1}{70}$，
${P}（{{X}=1}）=\frac{C_4^1C_4^3}{C_8^4}=\frac{8}{35}$，
${P}（{{X}=2}）=\frac{C_4^2C_4^2}{C_8^4}=\frac{18}{35}$，
${P}（{{X}=3}）=\frac{C_4^3C_4^1}{C_8^4}=\frac{8}{35}$，
${P}（{{X}=4}）=\frac{C_4^4C_4^0}{C_8^4}=\frac{1}{70}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{1}{70}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{8}{35}$	$\frac{1}{70}$

∴X的數(shù)學(xué)期望為${E}{X}=1×\frac{8}{35}+2×\frac{18}{35}+3×\frac{8}{35}+4×\frac{1}{70}=2$…（9分）
（III）$s_1^2＜s_2^2$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查方差大小的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．