Question

3．已知函數(shù)$f（x）=alnx+\frac{1}{2}{x^2}-（{1+a}）x（{a∈R}）$．
（1）當a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導函數(shù)．
（1）對a分類可得f'（x）、f（x）的變化情況表，利用表格可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出f（1）=$-\frac{1}{2}-a$，可得a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立；a≤0時，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的極小值，也是最小值，由最小值大于等于0求得a的取值范圍．

解答 解：$f'（x）=\frac{a}{x}+x-（{1+a}）=\frac{{{x^2}-（{1+a}）x+a}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{x-a}）}}{x}$，
（1）①當0＜a＜1時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，a），（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a，1）．
②當a＞1時，f'（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）．
③當a=1時，$f'（x）=\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{x}≥0$，此時f（x）單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞），沒有單調(diào)遞減區(qū)間，
（2）由于$f（1）=-\frac{1}{2}-a$，顯然a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．
當a≤0時，$f'（x）=\frac{a}{x}+x-（{1+a}）=\frac{{{x^2}-（{1+a}）x+a}}{x}=\frac{{（{x-1}）（{x-a}）}}{x}$，
可得x∈（0，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）的極小值，也是最小值即是$f（1）=-\frac{1}{2}-a$，此時只要f（1）≥0即可，解得$a≤-\frac{1}{2}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是$（{-∞，-\frac{1}{2}}]$．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想方法，是中檔題．