Question

2．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜2，對(duì)任意的x，y∈R，f（x）+f（y）=f（x+y）+2成立，若數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（0），且f（a_n+1）=f（$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$），n∈N^*，則a₂₀₁₇的值為（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{6}{2×{3}^{2016}-1}$
• C． $\frac{2}{2×{3}^{2016}-1}$
• D． $\frac{2}{2×{3}^{2015}-1}$

Answer 1

分析 計(jì)算a₁，判斷f（x）的單調(diào)性得出遞推公式a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，兩邊取倒數(shù)化簡(jiǎn)得出∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是等比數(shù)列，從而得出{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：令x=y=0得f（0）=2，∴a₁=2．
設(shè)x₁，x₂是R上的任意兩個(gè)數(shù)，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0，f（x）＜2；
∴f（x₂-x₁）＜2；
即f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁）-2＜2+f（x₁）-2=f（x₁），
∴f（x）在R上是減函數(shù)，
∵f（a_n+1）=f（$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$），
∴a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+3}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{3}{{a}_{n}}$+1，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{2}$=3（$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$），
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$}是以1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$=3^n-1，
∴a_n=$\frac{2}{2•{3}^{n-1}-1}$，∴a₂₀₁₇=$\frac{2}{2•{3}^{2016}-1}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與數(shù)列的轉(zhuǎn)化，利用抽象函數(shù)的關(guān)系結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．