Question

16．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1有極值的充要條件是a＜0或a＞1．

Answer 1

分析 通過(guò)f（x）有零點(diǎn)可知f′（x）=ax²+2ax+1=0有解，分a=0、a≠0兩種情況討論即可．

解答 解：因?yàn)閒（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1，x∈R，
所以f′（x）=ax²+2ax+1，
因?yàn)閒（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1有極值，
所以f′（x）=0有解，即ax²+2ax+1=0有解．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，要使一元二次方程ax²+2ax+1=0有解，
只需△=4a²-4a≥0，即a≤0或a≥1．
又因?yàn)楫?dāng)a=0或a=1時(shí)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1沒(méi)有極值，
所以函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+ax²+x+1有極值的充要條件是a＜0或a＞1，
故答案為：a＜0或a＞1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)之間的關(guān)系，考查分類(lèi)討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．