1.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$x2-2aln x+(a-2)x,a∈R.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,對任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2有$\frac{f({x}_{2})-f({x}_{1})}{{x}_{2}-{x}_{1}}$>a恒成立?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,說明理由.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f′(1)的值,求出切線方程即可;
(2)令g(x)=f(x)-ax=$\frac{1}{2}$x2-2alnx-2x,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到2a≤x2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立,求出a的范圍即可.

解答 解:(1)函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}$x2-2aln x+(a-2)x,定義域是(0,+∞),
所以f′(x)=$\frac{(x-2)(x+a)}{x}$,(x>0),
當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=$\frac{(x-2)(x+1)}{x}$,所以f′(1)=-2,
則所求切線方程為y-f(1)=-2(x-1),即4x+2y-3=0;
(2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a滿足條件,不妨設(shè)0<x1<x2,
由$\frac{f{(x}_{2})-f{(x}_{1})}{{x}_{2}{-x}_{1}}$>a,知f(x2)-ax2>f(x1)-ax1成立,
令g(x)=f(x)-ax=$\frac{1}{2}$x2-2alnx-2x,
則函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
則g′(x)=x-$\frac{2a}{x}$-2≥0,即2a≤x2-2x=(x-1)2-1在(0,+∞)上恒成立,
則a≤-$\frac{1}{2}$,故存在這樣的實(shí)數(shù)a滿足題意,
其取值范圍為(-∞,-$\frac{1}{2}$].

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道中檔題.

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