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11.已知向量a,夾角為\frac{π}{3},|\overrightarrow|=2,對任意x∈R,有|\overrightarrow+x\overrightarrow{a}|≥|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|,則|t\overrightarrow-\overrightarrow{a}|+|t\overrightarrow-\frac{\overrightarrow{a}}{2}|(t∈R)的最小值是( �。�
A.\frac{\sqrt{13}}{2}B.\frac{3}{2}C.1+\frac{\sqrt{3}}{2}D.\frac{\sqrt{7}}{2}

分析 由題意對任意x∈R,有|\overrightarrow+x\overrightarrow{a}|≥|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|,兩邊平方整理.由判別式小于等于0,可得(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)⊥\overrightarrow{a},運用數量積的定義可得即有|\overrightarrow{a}|=1,畫出\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow,建立平面直角坐標系,設出A,B的坐標,求得|t\overrightarrow-\overrightarrow{a}|+|t\overrightarrow-\frac{\overrightarrow{a}}{2}|的坐標表示,運用配方和兩點的距離公式,結合三點共線,即可得到所求最小值.

解答 解:向量\overrightarrow{a}\overrightarrow夾角為\frac{π}{3},對任意x∈R,有|\overrightarrow+x\overrightarrow{a}|≥|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|,兩邊平方整理可得x2 {\overrightarrow{a}}^{2}+2x\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{\overrightarrow}^{2}-({\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow)≥0,
則△=4{(\overrightarrow{a}•\overrightarrow)}^{2}+4{\overrightarrow{a}}^{2}{\overrightarrow{a}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow)≤0,
即有{{(\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow)}^{2}≤0,即{\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow,即為(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)⊥\overrightarrow{a}
由向量\overrightarrow{a},\overrightarrow夾角為\frac{π}{3},|\overrightarrow|=2,可得 {\overrightarrow{a}}^{2}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow=|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow|•cos\frac{π}{3}=|\overrightarrow{a}|•1,∴|\overrightarrow{a}|=1.
∴|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{{(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)}^{2}}=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}{+\overrightarrow}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow}=\sqrt{\sqrt{1+4-2}}=\sqrt{3}
\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{a},\overrightarrow{AB}=\overrightarrow,建立平面直角坐標系,如圖所示;
則A(1,0),B(0,\sqrt{3}),
∴-\overrightarrow{a}=(-1,0),\overrightarrow=(-1,\sqrt{3});
則|t\overrightarrow-\overrightarrow{a}|+|t\overrightarrow-\frac{\overrightarrow{a}}{2}|=\sqrt{{(1-t)}^{2}{+(\sqrt{3}t)}^{2}}+\sqrt{{(\frac{1}{2}-t)}^{2}{+(\sqrt{3}t)}^{2}}=2( \sqrt{{(t-\frac{1}{4})}^{2}{+(0-\frac{\sqrt{3}}{4})}^{2}}+\sqrt{{(t-\frac{1}{8})}^{2}{+(0+\frac{\sqrt{3}}{8})}^{2}}),
它表示點P(t,0)與點M(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{3}}{4})、N(\frac{1}{8},\frac{\sqrt{3}}{8})的距離之和,故當P與M、N共線時,
則|t\overrightarrow-\overrightarrow{a}|+|t\overrightarrow-\frac{\overrightarrow{a}}{2}|的最小值是2MN=\frac{\sqrt{7}}{2}

點評 本題考查斜率的數量積的定義和性質,主要是向量的平方即為模的平方,考查轉化思想和三點共線取得最小值,考查化簡整理的運算能力,屬于難題.

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