Question

9．關(guān)于二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁵，有下列命題：
①該二項(xiàng)展開(kāi)式中非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和是1；
②該二項(xiàng)展開(kāi)式中第六項(xiàng)為$C_{2005}^6{x^{1999}}$；
③該二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第1002項(xiàng)；
④當(dāng)x=2006時(shí)，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余數(shù)是2005．
其中所有正確命題的序號(hào)是（　�。�

• A． ②④
• B． ②③
• C． ①③
• D． ①④

Answer 1

分析 分別令x=1、x=0求出二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁵所有項(xiàng)的系數(shù)和與常數(shù)項(xiàng)，判定①正確；
根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第六項(xiàng)，判定②錯(cuò)誤；
根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的特點(diǎn)可知系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)，判定③錯(cuò)誤；
當(dāng)x=2006時(shí)，（x-1）²⁰⁰⁵除以2006的余數(shù)是2006-l，判定④正確．

解答 解：在二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁵中，令x=1得二項(xiàng)式（x-1）²⁰⁰⁵所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，
令x=0得常數(shù)項(xiàng)為-l，∴非常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和是1，①正確；
二項(xiàng)展開(kāi)式的第六項(xiàng)為T(mén)₅₊₁=${C}_{2005}^{5}$•x²⁰⁰⁰•（-1）⁵=-C₂₀₀₅⁵x²⁰⁰⁰，∴②錯(cuò)誤；
二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)絕對(duì)值最大的為${C}_{2005}^{\frac{2005-1}{2}}$=C₂₀₀₅¹⁰⁰²，
和-${C}_{2005}^{\frac{2005+1}{2}}$=-C₂₀₀₅¹⁰⁰³，
得系數(shù)最大的項(xiàng)是第1003項(xiàng)C₂₀₀₅¹⁰⁰²•x¹⁰⁰³，∴③錯(cuò)誤；
當(dāng)x=2006時(shí)，（x-1）²⁰⁰⁵除以2 006的余數(shù)是2006-l=2005，∴④正確．
綜上，以上正確命題的序號(hào)是①④．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，展開(kāi)式的特定項(xiàng)以及系數(shù)最大項(xiàng)問(wèn)題，是中檔題．