Question

【題目】已知點(diǎn)，分別在軸，軸上運(yùn)動(dòng)，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）直線(xiàn)與交于，兩點(diǎn)，，若直線(xiàn)，的斜率之和為2，直線(xiàn)是否恒過(guò)定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)

【解析】

（1）設(shè)，由此得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)后求得點(diǎn)的軌跡方程.

（2）設(shè)，，當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立直線(xiàn)方程和軌跡的方程，寫(xiě)出判別式和韋達(dá)定理，根據(jù)直線(xiàn)，的斜率之和為2列方程，求得的關(guān)系式，由此判斷直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，同樣利用直線(xiàn)，的斜率之和為2列方程，由此求得直線(xiàn)的方程，此時(shí)直線(xiàn)也過(guò)點(diǎn)，由此判斷出直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

（1）設(shè)，

因?yàn)辄c(diǎn)在線(xiàn)段上，且，所以，，

因?yàn)?/span>，所以，即，

所以點(diǎn)的軌跡的方程為.

（2）設(shè)，，

當(dāng)的斜率存在時(shí)，設(shè)：，

由得，

所以，即，

，，

因?yàn)橹本�(xiàn)，的斜率之和為2，所以，

所以，即，所以，

當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，即，符合題意，

此時(shí)：恒過(guò)定點(diǎn)，

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，，，

因?yàn)橹本�(xiàn)，的斜率之和為2，所以，

所以，此時(shí)：，恒過(guò)定點(diǎn)，

綜上，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).