Question

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且圓心在直線：上.

（1）求圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于兩點(diǎn)，問(wèn)在直線上是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立，詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）求出弦中垂線方程，由中垂線和直線相交得圓心坐標(biāo)，再求出圓半徑，從而得圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為，代入圓的方程，得的一元二次方程，同時(shí)設(shè)交點(diǎn)為由韋達(dá)定理得，假設(shè)定點(diǎn)存在，設(shè)其為，由求得，再驗(yàn)證所作直線斜率不存在時(shí)，點(diǎn)也滿足題意．

（1）的中點(diǎn)為，∴的垂直平分線的斜率為，

∴的垂直平分線的方程為，∴的垂直平分線與直線交點(diǎn)為圓心，則

，解得，

又．

∴ 圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則過(guò)點(diǎn)的直線方程為，故

由，整理得，

設(shè)，

設(shè)，則，

，

，

即

，

當(dāng)斜率不存在時(shí)，成立，

∴在直線上存在定點(diǎn)，使得恒成立