Question

17．（1）設(shè)P是橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上任意一點，P是焦點．證明：以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓相切；
（2）設(shè)P是雙曲線M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上任意一點，F(xiàn)是焦點，請你類比（1），寫出一個類似的結(jié)論，并證明．

Answer 1

分析 （1）畫出圖形，利用三角形的中位線與橢圓的定義，推出兩個圓的圓心距與半徑關(guān)系，證得結(jié)果；
（2）利用雙曲線的定義，通過圓心距判斷出當點P分別在左、右兩支時，利用兩圓圓心距離和半徑之間的關(guān)系判斷兩圓相內(nèi)切、外切．

解答 （1）證明：如圖，∵P是橢圓M：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上任意一點，F(xiàn)為其右焦點，則以PF為直徑的圓的半徑是$\frac{1}{2}$|PF|，
以長軸為直徑的圓的半徑為a，設(shè)橢圓左焦點為F′，
OC∥PF′，OC=$\frac{1}{2}$PF′．圓心距|OC|=$\frac{1}{2}$PF′，
∵|OC|+$\frac{1}{2}$|PF|=a，∴兩個圓相內(nèi)切；
（2）結(jié)論：設(shè)P是雙曲線M：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$上任意一點，F(xiàn)是焦點，
則以線段PF為直徑的圓與以實軸為直徑的圓相切．
證明：設(shè)以實軸|F₁F₂|為直徑的圓的圓心為O₁，其半徑r₁=a，
線段PF₂為直徑的圓的圓心為O₂，其半徑為r₂=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}$，
當P在雙曲線左支上時，|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵r₂-|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{2}|}{2}-\frac{|P{F}_{1}|}{2}$=a=r₁，
∴兩圓內(nèi)切；
當P在雙曲線右支上時，
|O₁O₂|=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}$，
∵|O₁O₂|-r₂=$\frac{|P{F}_{1}|}{2}-\frac{|P{F}_{2}|}{2}$=a=r₁，
∴r₁+r₂=|O₁O₂|，
∴兩圓外切．

點評 本題主要考查橢圓與雙曲線的性質(zhì)的應用以及兩圓位置關(guān)系的判斷，利用橢圓與雙曲線的定義結(jié)合兩圓位置關(guān)系的定義是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．