Question

用邊長(zhǎng)60cm的正方形硬紙片ABCD，切去如圖所示的陰影部分，即四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使A，B，C，D四點(diǎn)重合于右圖中點(diǎn)P，正好做成一個(gè)正四棱柱狀的包裝盒．被切去的一等腰直角三角形斜邊兩端點(diǎn)E，F(xiàn)在AB上．設(shè)AE=FB=x（cm）．

（1）用x表示包裝盒的高h(yuǎn)；
（2）求出包裝盒的容積V關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并指出x的范圍；
（3）x為何值時(shí)，盒子容積最大？求出此時(shí)盒子的底邊與高長(zhǎng)之比．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得（60-2x）²=2h²，由此能用x表示包裝盒的高h(yuǎn)．
（2）利用正四棱柱體積公式能求出包裝盒的容積V關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式及x的范圍．
（3）由V′=6

2

x(20-x)，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出x為何值時(shí)，盒子容積最大，并能求出此時(shí)盒子的底邊與高長(zhǎng)之比．

解答： 解：（1）由已知得（60-2x）²=2h²，
整理，得：h=

2

(30-x)(cm)．（3分）
（2）V=(

2

x)2•

2

(30-x)=-2

2

x3+60

2

x2，x∈（0，30）（9分）
（3）V′=6

2

x(20-x)，（11分）
當(dāng)0＜x＜20，V′＞0，V為增函數(shù)；
當(dāng)20＜x＜30，V′＜0，V為減函數(shù)．
所以當(dāng)x=20（cm）時(shí)，V有極大值，
即容積有最大值．（13分）
此時(shí)盒子的底邊與高長(zhǎng)之比為：
20

2

：10

2

=2：1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的最大值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．