Question

9．已知橢圓$E：\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$的右焦點(diǎn)為F，設(shè)直線l：x=5與x軸的交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l₁與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn)．
（I）若直線l₁的傾斜角為$\frac{π}{4}$，求△ABM的面積S的值；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B作直線BN⊥l于點(diǎn)N，證明：A，M，N三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 （I）由題意，直線l₁的x=y+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式即可求得△ABM的面積S的值；
（Ⅱ）直線y=k（x-1），代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，利用直線的斜率公式，即可求得k_AM=k_MN，A，M，N三點(diǎn)共線．

解答 解：（I）由題意可知：右焦點(diǎn)F（1，0），E（5，0），M（3，0），
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線l₁的傾斜角為$\frac{π}{4}$，則k=1，
直線l₁的方程y=x-1，即x=y+1，
則$\left\{\begin{array}{l}{x=y+1}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：9y²+8y-16=0．
則y₁+y₂=-$\frac{8}{9}$，y₁y₂=-$\frac{16}{9}$，
△ABM的面積S，S=$\frac{1}{2}$•丨FM丨•丨y₁-y₂丨=丨y₁-y₂丨=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{8\sqrt{10}}{9}$，
∴△ABM的面積S的值$\frac{8\sqrt{10}}{9}$；
（Ⅱ）證明：設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1），
則$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{5}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：（4+5k²）x²-10k²x+5k²-20=0．
則x₁+x₂=$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$，
直線BN⊥l于點(diǎn)N，則N（5，y₂），
由k_AM=$\frac{-{y}_{1}}{3-{x}_{1}}$，k_MN=$\frac{{y}_{2}}{2}$，
而y₂（3-x₁）-2（-y₁）=k（x₂-1）（3-x₁）+2k（x₁-1）=-k[x₁x₂-3（x₁+x₂）+5]，
=-k（$\frac{5{k}^{2}-20}{4+5{k}^{2}}$-3×$\frac{10{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$+5），
=0，
∴k_AM=k_MN，
∴A，M，N三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式，考查直線的斜率公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．