Question

17．已知拋物線C：y²=8x的焦點為F，P是C上一點，Q（-2，y₀）是x軸上方一點，若△PQF是等邊三角形，則y₀的值為（　　）

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $3\sqrt{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)P點的坐標為（x₁，y₁），x₁＞0，根據(jù)點與點之間的距離公式和拋物線的性質(zhì)，以及△PQF是等邊三角形，得到|PF|=|PQ|，|PF|=|QF|，繼而得到y(tǒng)₁=y₀，結(jié)合y₁²=8x₁，即可求出x₁的值，代值計算即可．

解答 解：∵拋物線C：y²=8x，
∴焦點F（2，0），準線x=-2，
設(shè)P點的坐標為（x₁，y₁），x₁＞0
∴|PF|=x₁+2，
∵|PQ|=$\sqrt{（{x}_{1}+2）^{2}+（{y}_{1}-{y}_{0}）^{2}}$，|QF|=$\sqrt{{（2+2）}^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$，
∵△PQF是等邊三角形，
∴|PF|=|PQ|，|PF|=|QF|，
∴y₁=y₀，（x₁+2）²=16+y₀²，
∵y₁²=8x₁，
∴（x₁+2）²=16+y₁²=16+8x₁，
解得x₁=6，
∴y₀²=y₁²=8×6=48，
∵P是C上一點，Q（-2，y₀）是x軸上方一點，
∴y₀=4$\sqrt{3}$
故選：A．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，兩點之間的距離公式，等邊三角形的性質(zhì)，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題．