Question

7．已知拋物線y²=2px（p＞0）存在關(guān)于直線x+y=1對稱的相異兩點(diǎn)A、B，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（　�。�

• A． （0，1）
• B． （0，+∞）
• C． （0，$\frac{2}{3}$]
• D． （0，$\frac{2}{3}$）

Answer 1

分析 法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線x+y=1對稱的兩點(diǎn)，C（x₀，y₀）為AB的中點(diǎn)．設(shè)AB的直線方程為y=kx+b．由直線AB與x+y=1垂直，得k=1，由由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，得到 x²+（2b-2p）x+b²=0，由此能求出實(shí)數(shù)p的取值范圍．
法二：利用拋物線的參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2px₁²，2px₁），（2px₂²，2px₂），又二者關(guān)于直線x+y-1=0對稱，則可列出等價方程，建立p的不等式．

解答 解法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線x+y=1對稱的兩點(diǎn)，
C（x₀，y₀）為AB的中點(diǎn)．設(shè)AB的直線方程為y=kx+b．
由直線AB與x+y=1垂直，得k=1…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，
得到 x²+（2b-2p）x+b²=0…（5分）
△=4p（p-2b）＞0，得p＞2b，①
∴x₁+x₂=2p-2b，x₁x₂=b²，
C（p-b，y₀）代入y=x+b中，得到C（p-b，p）
同時C又在x+y=1上得b=2p-1…②
由①②可得p＜$\frac{2}{3}$，
∵p＞0，∴0＜p＜$\frac{2}{3}$，
實(shí)數(shù)p的取值范圍是（0，$\frac{2}{3}$）．
解法二：設(shè)拋物線上兩點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（2px₁²，2px₁），（2px₂²，2px₂）且關(guān)于直線x+y-1=0對稱，
則有$\left\{\begin{array}{l}{p（{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}）+p（{x}_{1}+{x}_{2}）=1}\\{\frac{2p（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2p（{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}）}=1}\end{array}\right.$，
由第二個方程可得x₁+x₂=1代入第一個方程，
得x₁²+x₂²=$\frac{1-p}{p}$＞0，故0＜p＜1．
又由$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{2}$＞$\frac{1}{2}$（xx₁+x₂），
得$\frac{1-p}{p}$＞$\frac{1}{2}$
即0＜p＜$\frac{2}{3}$為所求．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．