Question

12．如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=$\frac{π}{2}$．D，E分別為線段AB，BC上的點，且CD=DE=$\sqrt{2}$，CE=2EB=2
（1）證明：DE⊥平面PCD
（2）求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由PC⊥平面ABC，得PC⊥DE，CD⊥DE，由此能證明DE⊥平面PCD．
（2）以C為坐標原點，分別以$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CP}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值．

解答 證明：（1）由PC⊥平面ABC，DE?平面ABC，故PC⊥DE，
由CE=2，CD=DE=$\sqrt{2}$，得△CDE為等腰直角三角形，故CD⊥DE，
由PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD內兩條相交直線，
故DE⊥平面PCD．
解：（2）以C為坐標原點，分別以$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CP}$的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0，），P（0，0，3），B（0，3，0），E（0，2，0），D（1，1，0），
$\overrightarrow{DE}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{DP}$=（-1，-1，3），$\overrightarrow{DB}$=（-1，2，0），
設平面PAD的法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x₁，y₁，z₁），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DB}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DP}=-x-y+3z=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，1，1），
由（1）知DE⊥平面PCD，故$\overrightarrow{DE}$=（-1，1，0）是平面PCD的法向量，
從而法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{DE}$的夾角的余弦值為cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}|•|\overrightarrow{DE}|}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
故所求二面角B-PD-C的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．