Question

13．在△ABC中的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，若$\sqrt{5}$b=4c，B=2C．
（1）求cosB；
（2）若c=5，點D為BC上一點，且BD=6，求△ADC的面積．

Answer 1

分析 （1）由B=2C，推導出cosC=$\frac{sinB}{2sinC}$=$\frac{2c}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，由此能求出cosB．
（2）由題意得，b=4$\sqrt{5}$，由余弦定理得a=11，從嘏求出DC=5，sinC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由此能求出△ADC的面積．

解答 解：（1）因為B=2C，所以有sinB=sin2C=2sinCcosC．
從而cosC=$\frac{sinB}{2sinC}$=$\frac{2c}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故cosB=cos2C=2cos²C-1=$\frac{8}{5}-1$=$\frac{3}{5}$．
（2）由題意得，b=4$\sqrt{5}$，
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB．
即80=${a}^{2}+{5}^{2}-2×5×\frac{3}{5}a$，化簡得a²-6a-55=0，
解得a=11或a=-5（舍去）．
從而DC=5，又cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則sinC=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
所以△ADC的面積${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×DC×AC×sinC$=10．

點評 本題考查三角形內(nèi)角的余弦值、三角形面積、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查創(chuàng)新意識、應(yīng)用意識，是中檔題．