Question

1．現(xiàn)有如下四個(gè)命題：
①若動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)A（-4，0）、B（4，0）連線PA、PB的斜率之積為定值$\frac{4}{9}$，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分
②設(shè)m，n∈R，常數(shù)a＞0，定義運(yùn)算“*”：m*n=（m+n）²-（m-n）²，若x≥0，則動(dòng)點(diǎn)$P（x，\sqrt{x*a}）$的軌跡是拋物線的一部分
③已知兩圓A：（x+1）²+y²=1、圓B：（x-1）²+y²=25，動(dòng)圓M與圓A外切、與圓B內(nèi)切，則動(dòng)圓的圓心M的軌跡是橢圓
④已知A（7，0），B（-7，0），C（2，-12），橢圓過A，B兩點(diǎn)且以C為其一個(gè)焦點(diǎn)，則橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)的軌跡為雙曲線
上述四個(gè)命題中真命題為①②③．（請(qǐng)寫出其序號(hào)）

Answer 1

分析 利用直譯法，求①選項(xiàng)中動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，進(jìn)而判斷表示的曲線；利用新定義運(yùn)算，利用直譯法求選項(xiàng)②中曲線的軌跡方程，進(jìn)而判斷軌跡圖形；利用圓與圓的位置關(guān)系，利用定義法判斷選項(xiàng)③中動(dòng)點(diǎn)的軌跡；
利用橢圓定義，由定義法判斷④中動(dòng)點(diǎn)的軌跡即可．

解答 解：設(shè)P（x，y），因?yàn)橹本�PA、PB的斜率存在，所以x≠±4，直線PA、PB的斜率分別是k₁=$\frac{y}{x+4}$，k₂=$\frac{y}{x-4}$，∴$\frac{y}{x+4}•\frac{y}{x-4}=\frac{4}{9}$，化簡(jiǎn)得9y²=4x²-64，即$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{9{y}^{2}}{64}=1$（x≠±4），
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一部分，①正確；
∵m*n=（m+n）²-（m-n）²，∴$\sqrt{x*a}$=2$\sqrt{ax}$，設(shè)P（x，y），則y=2$\sqrt{ax}$，即y²=4ax（x≥0，y≥0），即動(dòng)點(diǎn)$P（x，\sqrt{x*a}）$的軌跡是拋物線的一部分，②正確；
由題意可知，動(dòng)圓M與定圓A相外切與定圓B相內(nèi)切
∴MA=r+1，MB=5-r
∴MA+MB=6＞AB=2
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，③正確；
設(shè)此橢圓的另一焦點(diǎn)的坐標(biāo)D （x，y），
∵橢圓過A、B兩點(diǎn)，則 CA+DA=CB+DB，
∴15+DA=13+DB，∴DB-DA=2＜AB，
∴橢圓的另一焦點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線一支，④錯(cuò)誤
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了求動(dòng)點(diǎn)軌跡的兩種方法：直譯法和定義法，考查了圓、橢圓、拋物線、雙曲線的定義，橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，有一定難度．