Question

9．已知$\overrightarrow a=（m-1，1）$，$\overrightarrow b=（n，-1）$，且m＞0，n＞0，若$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，則$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$的最小值為（　�。�

• A． 12
• B． 16
• C． 20
• D． 25

Answer 1

分析 由$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，推導(dǎo)出m+n=1，從而$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）（m+n）=$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10，由此利用m＞0，n＞0，能求出$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow a=（m-1，1）$，$\overrightarrow b=（n，-1）$，且m＞0，n＞0，$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴$\frac{m-1}{n}=\frac{1}{-1}$，∴m+n=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$=（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）（m+n）=$\frac{9m}{n}+\frac{n}{m}$+10
≥2$\sqrt{\frac{9m}{n}×\frac{n}{m}}$+10=16．
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{9m}{n}=\frac{n}{m}$時(shí)，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取最小值16．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查代數(shù)式的最小值的求法，考查向量平行、均值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．